Lösungen zu den Fragen S+W

Hier finden Sie die Antworten zu den Fragen:

Aufgabe 1: Eine Masse von 7 kg wird an eine Feder mit D = 5 N/cm gehängt. Wie stark wir die Feder dabei verlängert?

In der Gleichgewichtslage gilt:

$\begin{aligned} F_G &= F_F\\ m \cdot g &= D \cdot \Delta y \\ \Delta y &=\frac{m\cdot g}{D}= {\bf 13.73\, cm}\end{aligned}$

Aufgabe 2: Bei welchen Punkten ist die Rückstellkraft $F_R$ am grössten und wo verschwindet sie?

$F_R$ ist bei den Extremalpunkten am grössten und $F_R$ verschwindet bei den 0-Durchgängen (Gleichgewichtslagen).

Aufgabe 3: Ein Federpendel mit einer Masse von 15 kg macht in 12 s drei volle Perioden. Welche Federkonstante muss die Feder dabei haben?

Die Periodendauer $T$ beträgt 4 s: :

$\begin{aligned} T &= 2\cdot\pi\cdot\sqrt[]{\frac{m}{D}}\\ D & =\frac{4\cdot\pi^2\cdot m}{T^2} = {\bf37\, N/m}\end{aligned}$

Aufgabe 4: Die Masse spielt keine Rolle und die Länge des Fadens ist unter der Wurzel. Somit wird sich die Periodendauer bei Vervierfachung der Fadenlänge verdoppeln.

$T_1=\sqrt[]{4}\cdot T_2={\bf 0.8\,s}$

Aufgabe 5: Berechnen Sie die Periodendauer $T$ und die Frequenz $f$ dieses Pendels, wenn die Länge des Fadens $l=67\,m$ und die Masse $m=28\,kg$ beträgt.

$T=2\pi\cdot\sqrt[]{\frac{l}{g}}=2\pi\cdot\sqrt[]{\frac{67\,m}{9.81\,m/s^2}}={\bf 16.42\,s}\\ f=\frac{1}{T}=\frac{1}{16.42\,s}={\bf 3.65\,min^{-1}}$

Aufgabe 6: Die Geschwindigkeit eines Federpendels mit einer Masse $m=5\,kg$ beträgt an einer bestimmten Stelle $v_1 = 1\,m/s$ . Wie stark ist die Feder an dieser Stelle zusammengedrückt, wenn die maximale Elongation $y_0= 4\,cm$ beträgt? ( $D=50 \,N/cm$ )

$\begin{aligned}E_{Total}&=E_{Kin}+E_{Def}=D\cdot \frac{y_0^2}{2}\\ E_{Def}&=E_{Total}-E_{Kin}\\ D\cdot \frac{y^2}{2}&=D\cdot \frac{y_0^2}{2}-\frac{m\cdot v_1^2}{2}\\ y&=\sqrt[]{\frac{D\cdot y_0^2-m\cdot v_1^2}{D}}={\bf 2.45\,cm}\end{aligned}$

Aufgabe 7: Ein Pendel wird um einen Winkel $\phi=5°$ aus der Neutrallage ausgelenkt. Die Länge des Fadens beträgt $l_0 = 3\,m$ . Welche Geschwindigkeit $v_2$ hat das Pendel beim Durchgang durch die Gleichgewichtslage und auf welcher Höhe $\Delta h_3$ beträgt die Geschwindigkeit $v_3=0.2\,m/s$ ?

mit $\cos\phi=\frac{h'}{l_0}$ wird: $\Delta h_1 = l_0\cdot (1-\cos{\phi})$

$E_{Total}=E_{Pot 1}=m\cdot g\cdot l_0\cdot (1-\cos{\phi})$

für die Neutrallage gilt: $E_{Kin 2}=E_{Pot 1}$ und somit wird:

$v_2 = \sqrt[]{2\cdot g\cdot l_0 \cdot (1-\cos{\phi}})={\bf 0.47\,m/s}$

Im Punkt $P_3$ gilt: $E_{Kin 3} + E_{Pot 3} = E_{Pot 1}$

$\Delta h_3=\frac{2\cdot g\cdot l_0 \cdot (1-\cos{\phi}) - v_3^2}{2\cdot g}=\frac{v_2^2 - v_3^2}{2\cdot g}= {\bf 0.94\,cm}$

Hilfe zur Verwendung von Geogebra zum Lösen der Diagramm-Aufgabe des Federpendels:

Bestimmen Sie, welche der 4 Funktionen Sie benötigen, um das y-t-Diagramm zu zeichnen. Setzen Sie bei der entsprechenden Funktion ein Häkchen.
Berechnen Sie die Periodendauer und die max. Auslenkung (Amplitude) und stellen Sie die Regler auf die entsprechenden Werte.
Speichern Sie sich einen Screenshot Ihrer Lösung und vergleichen Sie diese mit der Originallösung.
Wiederholen Sie diese Schritte nun für das v-t- und das a-t-Diagramm.