Lösungen zur Statik und Dynamik

Hier befinden sich die Lösungen zu den Aufgaben aus dem Kapitel Statik

Frage 1: Die Kraft, die hier zerlegt wird, ist die Gewichtskraft $F_G$ der Strassenlampe. Sie wird so zerlegt, dass die eine Kraft ( $F_1$ ), die entsteht in Richtung des Seils auf der linken Seite zeigt (Winkel $\alpha$ ) und die zweite Kraft ( $F_2$ ) auf die rechte Seite entlang dem rechten Seil (Winkel $\beta$ ). Umgekehrt könnte man doch sagen, dass $F_1 + F_2$ gerade die Gewichtskraft $F_G$ der Lampe sein muss. Somit wird also $F_G$ in die beiden Komponenten $F_1$ und $F_2$ zerlegt.

Aufgabe S1: Zuerst wird ein Lageplan erstellt, der Ihnen zeigt, wie die Kräfte untereinander angeordnet sind. Hier ist die Lage der Kräfte wichtig, eine Berechnung können Sie im Lageplan nicht vornehmen. Zeichnen Sie die Wirkungslinien der beiden Kräfte auf beide Seiten genügend lang.

Um den Kräfteplan zeichnen zu können, zeichnen wir eine parallele Linie zur Wirkungslinie 2, welche durch die Pfeilspitze von $F_G$ geht. Im Punkt P schneidet diese Parallele die Wirkungslinie 1 und es entsteht ein geschlossenes Kraftdreieck. Dieses können wir nun verwenden um die Kräfte zu berechnen!

In diesem Kräftedreieck sind die Seite $F_G$ sowie die beiden Winkel $\alpha$ und $\beta$ geben. Der Winkel $\gamma$ beim Punkt P kann ebenfalls bestimmt werden: $\gamma = 180° - \alpha - \beta =30°$
Die blaue Linie entspricht der Wirkungslinie der Kraft $F_1$ und die Kraft selbst geht vom Punkt P bis zum Ursprung von $F_G$ . Der Betrag von $F_1$ kann nun mit Hilfe des Sinussatzes berechnet werden:

$\begin{aligned} \frac{F_1}{\sin(\beta)} &= \frac{F_G}{\sin(\gamma)} \notag \\ \Rightarrow F_1 &= F_G \cdot \frac{\sin(\beta)}{sin(\gamma)} = m \cdot g \cdot \frac{\sin(\beta)}{sin(\gamma)}\\ {\bf F_1} &= 15 \, kg \cdot 9.81 \, m/s^2 \cdot \frac{\sin(70°)}{\sin(30°)} = {\bf 276.55 \, N} \end{aligned}$

Auf die gleiche Weise lässt sich auch $F_2$ mit der grünen Wirkungslinie berechnen:

$\begin{aligned} \frac{F_2}{\sin(\alpha)} &= \frac{F_G}{\sin(\gamma)} \notag \\ \Rightarrow F_2 &= F_G \cdot \frac{\sin(\alpha)}{sin(\gamma)} = m \cdot g \cdot \frac{\sin(\alpha)}{sin(\gamma)}\\ {\bf F_2} &= 15 \, kg \cdot 9.81 \, m/s^2 \cdot \frac{\sin(80°)}{\sin(30°)} = {\bf 289.83 \, N} \end{aligned}$

In der Abbildung sind die Kräfte im richtigen Verhältnis zueinander gezeigt. Beachten Sie, dass die Seillänge nichts mit der Grösse der Kraft zu tun hat, auch wenn es hier den Anschein macht!

Ab hier befinden sich die Lösungen zu den Aufgaben aus dem Kapitel Dynamik

Die Bewegungsgleichung zur Berechnung von $F_{S2}$ lautet:

$\begin{aligned} F_{G2} - F_{S2} &= m_2 \cdot a \\\Rightarrow \bf{F_{S2}} &= F_{G2} - m_2 \cdot a \\&= 98.1 \, \text{N} - 20 \, \text{N} = \bf{78.1 \, \text{N}} \end{aligned}$

Der Betrag von $F_{S2}$ ist also genau gleich gross, wie der Betrag von $F_{S1}$ . Das mag auf den ersten Blick überraschen, ist aber logisch, da sonst das Seil entweder gestaucht oder zerrissen wird, was aber nicht passiert. Das zeigt auch, dass es egal ist, welche der Massen ich verwende um die Seilkraft zu berechnen, Hauptsache die Seilkraft greift an der entsprechenden Masse an.

Hier finden Sie die Antwort auf die Frage: Warum muss man am Hang die Gewichtskraft zerlegen?

Aus den Berechnungen mit Vektoren ist Ihnen sicher aufgefallen, dass wenn die Vektoren entlang einer der Achsen (x oder y) verlaufen, die Berechnungen besonders einfach werden. Von dieser Vereinfachung wollen wir hier profitieren, indem die Kräfte nur noch entlang der Achsen verlaufen. In der Physik ist es üblich, das Koordinatensystem so zu legen oder zu drehen, bis sich ein Körper darin entlang der x-Achse bewegt (siehe Abbildung).

Diese Drehung wird häufig nur in Gedanken gemacht. Es ist mit der Drehung nun viel einfacher zu sehen, was der Sinn an der Zerlegung von $F_G$ ist. Die Hangabtriebskraft $F_H$ verläuft parallel zur Strasse und $F_{GN}$ ist die Kraft, mit der das Auto auf die Strasse drückt. Die beiden Kräfte sind jetzt also entweder schön entlang der x-Achse ( $F_H$ ) oder entlang der y-Achse ( $F_{GN}$ ) und damit vereinfachen sich die Berechnungen.

Aufgabe R1: Die höchste Geschwindigkeit erreicht der Tennisball, wenn er unten ist und die kleinste, wenn er oben ist.

Aufgabe R2: Die minimale Bahngeschwindigkeit beträgt:

$V_B = \sqrt{R \cdot g} = \sqrt{2 \, \text{m} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2} = 4.43 \, \text{m/s}$

Aufgabe R3: Die Frage lässt sich beantworten, wenn wir die minimale Geschwindigkeit berechnen und diese mit der gegebenen Geschwindigkeit vergleichen, die sich bei 20 U/min ergibt:

minimale nötige Geschwindigkeit: $V_B = \sqrt{0.5 \, \text{m} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2} = 2.21 \, \text{m/s}$

mittlere Geschwindigkeit bei 40 U/min:
$V_B = 2 \cdot \pi \cdot n \cdot R$
$V_B = 2 \cdot \pi \cdot \frac{40 \, \text{U/min}}{60 \, \text{s/min}} \cdot 0.5 \, \text{m} = 2.1 \, \text{m/s}$

Diese Geschwindigkeit reicht nicht, um eine gleichmässige Rotation zu erzeugen. Es handelt sich erst noch um die mittlere Geschwindigkeit, effektiv ist die Geschwindigkeit im obersten Punkt noch etwas kleiner!

Aufgabe R4: Bei der minimal nötigen Geschwindigkeit gilt $F_Z = F_G$ , dass heisst, die Gewichtskraft kann gerade die nötige Zentripetalkraft aufbringen. Es ist also nicht nötig, dass das Seil auch noch an der Kugel zieht, um die Kugel auf der Bahn zu halten und somit verschwindet die Seilkraft im obersten Punkt gerade: $F_{S \, oben} = 0 \,$ N.

Für die Kraft im untersten Punkt müssen wir beachten, dass die Seilkraft nebst der Gewichtskraft auch noch die Zentripetalkraft $F_{Z \, unten}$ aufbringen muss. Also gilt: $F_{S \, unten} = F_G + F_{Z \, unten}$ .

Wie gross ist $F_{Z \, unten}$ ? Dazu müssen wir $V_ {B \, unten}$ im untersten Punkt kennen. Diese ergibt sich aus der Bahngeschwindigkeit im obersten Punkt plus einer Beschleunigung mit g während dem die Kugel vom obersten Punkt bis zum untersten Punkt beschleunigt wird. Wir kennen aus der Kinematik die Formel zu Berechnung der Endgeschwindigkeit, wenn die Anfangsgeschwindigkeit $V_0$ , die Beschleunigung $a$ und der Weg $S$ gegeben sind: $V_{End}^2 = V_0^2 + 2 \cdot a \cdot S$ .

Entsprechend sind dann:

$V_0 = \sqrt{R \cdot g} \text{ und } a=g \text{, sowie } S = 2 \cdot R \text{ und } V_{End} = V_{B \, unten}$

Alles miteinander verknüpft ergibt dann:

$V_{B \, unten}^2 = R \cdot g + 2 \cdot g \cdot 2 \cdot R = 5 \cdot g \cdot R$

$F_{Z \, unten} = m \cdot \frac{V_{B \, unten}^2}{R} = m \cdot \frac{5 \cdot g \cdot R}{R} = 5 \cdot m \cdot g$

und schlussendlich erhalten wir für die Kraft im Seil im untersten Punkt:

$F_{S \, unten} = F_G + F_{Z \, unten} = m \cdot g + 5 \cdot m \cdot g = 6 \cdot m \cdot g$

Für das Beispiel mit der 3 kg Kugel wird die Kraft: $F_{S \, unten} = 6 \cdot 3 \, \text{kg} \cdot 9.81 \text{m/s}^2 = 176.58 \, \text{N}$

Zusammenfassend stellen wir fest, dass die Kraft im Seil zwischen den Werten 0 N und 176.58 N schwankt!