Lösungen zu den Aufgaben Kinematik

Hier finden Sie Antworten und Lösungen zu den Fragen der Kinematik und den Wurfbewegungen.

Info 1: Für die allermeisten Berechnungen in der Kinematik ist es notwendig, dass man in den Einheiten $m$ und $m/s^2$ rechnet. Die Umrechnung verläuft mit dem Faktor 3.6. Also, zum Beispiel entsprechen 36 km/h einer Geschwindigkeit von 10 m/s:

36 km/h -> 10 m/s, d.h. der Betrag in km/h wird durch 3.6 geteilt, dann ist das Resultat in m/s.

umgekehrt gilt:

1 m/s -> 3.6 km/h, d.h. der Betrag in m/s wird mit 3.6 multipliziert und das Resultat ist dann in km/h.

Der Faktor 3.6 ergibt sich aus folgender Rechnung:

$1 \, km/h = \frac{1 \, km}{h} = \frac{1000 \, m}{3600 \, s} = \frac{1 \, m}{3.6 \, s} = \frac{1}{{\bf 3.6}} \, m/s$

Das Gleiche gilt auch umgekehrt, wenn von m/s auf km/h umgerechnet werden soll, allerdings wird der Faktor 3.6 dann multipliziert und nicht dividiert.

Aufgabe 1K: Das Symbol $\Delta$ steht für eine Differenz oder Unterschied oder manchmal auch für einen Betrag. Es ist hier mit $\Delta s$ die Strecke gemeint, die der Körper in der Zeit $\Delta t$ zurücklegt. Möglicherweise hat der Körper bereits einen Weg $s_1$ zurückgelegt und er wird vielleicht anschliessend noch einen weiteren Weg zurücklegen. Darüber wissen wir aber nichts und es interessiert hier auch nicht. Wir sind nur an diesem Wegstück $\Delta s$ interessiert. Dieses $\Delta s$ macht die ganze Betrachtung und damit auch die Berechnung etwas spezifischer als wenn wir nur $s$ verwenden würden.

Aufgabe 2K: Die Beschleunigung soll ja gemäss Definition null sein! Somit gibt es hier nichts zu berechnen.

Aufgabe 3K: Da das Auto zu Beginn still steht, beträgt die Anfangsgeschwindigkeit $v_A = 0$ m/s. Die Beschleunigung berechnet sich dann (108 km/h => 30 m/s):

$v_E &= 0 + a \cdot t \\ \Rightarrow a &= \frac{v_E}{t} \\ {\bf a} &= \frac{30 \, m/s}{30 \, s} = {\bf 1\, m/s^2}$

Die mittlere Geschwindigkeit beträgt somit:

${\bf v_m } = \frac{0 + v_E}{2} = \frac{30 \, m/s}{2} = {\bf 15 \, m/s}$

Der zurückgelegte Weg kann auf 2 verschiedene Arten berechnet werden, entweder über die Beschleunigung oder mit der mittleren Geschwindigkeit:

${\bf s} = \frac{a \cdot t^2}{2} = \frac{1 \, m/s^2 \cdot (30 \, s)^2}{2} = {\bf 450 \, m}$

oder:

${\bf s} = v_m \cdot t = 15 \, m/s \cdot 30 \, s = {\bf 450 \, m}$

Aufgabe 4K: Setzt man die Werte $v_A = 13.89 \, m/s, a = 3 \, m/s$ und $t = 10 \, s$ in die Formel (8) ein, so beträgt der zurückgelegte Weg ${\bf s = 288.9 \, m}$ und die Blitzgeschwindigkeit beläuft sich auf ${\bf v = 158 \, km/h}$ .

Aufgabe 5K: DieUmrechnung der Geschwindigkeiten auf m/s ergeben: $v_A$ = 8 m/s und $v_E$ = 2 m/s. Mit der Formel zur Berechnung der Strecke über die mittlere Geschwindigkeit lässt sich die Zeit $t$ berechnen:

$s = \frac{v_A + v_E}{2} \cdot t \Rightarrow t & = \frac{2 \cdot s}{v_A + v_E} \\ {\bf t} & = \frac{2 \cdot 10 \, m}{8 \, m/s + 2 \, m/s} = {\bf 2 \, s}$

Wird die Formel zur Berechnung der Endgeschwindigkeit nach $a$ umgeformt, so kann damit die Verzögerung berechnet werden:

$v_E = v_A + a \cdot t \Rightarrow a & = \frac{v_E - v_A}{t} \\ {\bf a} & = \frac{2 \, m/s - 8 \, m/s}{2 \, s} = {\bf -3 \, m/s^2}$

Wird die Formel richtig umgeformt und die Zahlenwerte korrekt eingesetzt, so wird die Beschleunigung negativ, was einem Abbremsen oder Verzögern entspricht! Dann bleibt noch die Berechnung der mittleren Geschwindigkeit $v_m$ :

${\bf v_m} = \frac{v_A + v_E}{2}= \frac{8 \, m/s + 2 \, m/s}{2} = {\bf 5 \, m/s}$

Aufgabe 1W: Die Hälfte der Fallhöhe $h_{Ff}$ ist 50 m, auf dieser Strecke findet der freie Fall statt. Um die maximale Geschwindigkeit $v_{max}$ berechnen zu können, muss zuerst die Freifallzeit $t_{Ff}$ berechnet werden. Alle Formeln, die hier gebraucht werden, finden wir bei der gleichmässig beschleunigten Bewegung:

$\begin{aligned} h_{Ff} = \frac{g \cdot t_{Ff}^2 }{2} \Rightarrow t_{Ff} & = \sqrt{ \frac{2 \cdot h_{Ff}}{g}} \\ {\bf t_{Ff}} & = \sqrt{ \frac{2 \cdot 50 \, m}{9.81 \, m/s^2}} = {\bf 3.19 \, s} \notag\end{aligned}$

Somit ergibt sich für die maximale Geschwindigkeit:

${\bf v_{max}} = g \cdot t_{Ff} = 9.81 \, m/s^2 \cdot 3.19 \, s = {\bf 31.32 \, m/s} \, (= 112.8 \, km/h)$

Auf den ersten 50 m beschleunigt die Plattform mit einer Beschleunigung von 9.81 $m/s^2$ . Zum Abbremsen bleibt noch eine Strecke von 50 m. Sie ist also gleich lang, wie die Beschleunigungsstrecke und somit muss das Abbremsen oder Verzögern mit $a = -9.81 \, m/s^2$ erfolgen, also mit dem gleichen Betrag wie beim Beschleunigen aber mit negativem Vorzeichen! Das heisst dann auch, das dieser Abbremsprozess gleich lange dauert wie das Beschleunigen. Dies lässt sich leicht überprüfen, wenn wir für $v_A = v_{max}$ setzen und für $v_E = 0$ :

$\begin{aligned} s = \frac{v_A + v_E}{2} \cdot t \Rightarrow t & = \frac{2 \cdot s}{v_A + v_E} \\ {\bf t} & = \frac{2 \cdot 50 \, m}{31.32 \, m/s + 0 \, m/s} = {\bf 3.19 \, s} \notag\end{aligned}$

und für die Verzögerung:

$\begin{aligned} v_E = v_A + a \cdot t \Rightarrow a & = \frac{v_E - v_A}{t} \\ {\bf a} & = \frac{0 \, m/s - 31.32 \, m/s}{3.19 \, s} = {\bf -9.81 \, m/s^2} \notag\end{aligned}$

Insgesamt dauert der Fall also ${\bf t_{Fall}} = 2 \cdot 3.19 \, s = {\bf 6.39 \, s}$ .

Aufgabe 2W: Die Höhe, die der Ball nach einer bestimmten Zeit erreicht hat, berechnet sich wie folgt:

$h = v_0 \cdot t - \frac{g \cdot t^2}{2}$

Mit den Werten $v_0 = 9.81 \, m/s$ und $t = 2 \, s$ erhalten wir:

$h = 9.81 \, m/s \cdot 2 \, s - \frac{9.81 \, m/s^2 \cdot (2 \, s)^2}{2} = 0 \, m$

Dieser Wert von $h = 0 \, m$ überrascht auf den ersten Blick, es handelt sich auch nicht um einen Berechnungsfehler. Man könnte für $t$ statt 2 Sekunden z.B. 1 Sekunde einsetzen und beobachten, welche Höhe dieser Wert liefert: $t = 1 \, s \rightarrow h = 4.9 \, m$ . Das heisst, nach der halben Zeit hat der Ball eine Höhe über dem Startpunkt von 4.9 m und nach der vollen Zeit von 2 Sekunden beträgt diese Höhe 0 m! Wie geht das?

Genau, der Ball ist nach 2 Sekunden bereits wieder auf dem Boden. Somit ist die Höhe von 4.9 m auch die maximale Höhe, die der Ball erreichen kann, da ja der Ball genau gleich viel Zeit zum Aufsteigen wie zum Herunterfallen braucht.

a-t-Diagramm: Die Beschleunigung ist negativ, da sie der Anfangsgeschwindigkeit entgegengerichtet ist. Sie bleibt negativ auch wenn der Ball die Richtung ändert, sie zeigt weiterhin in Richtung zum Erdmittelpunkt.

v-t-Diagramm: Die Geschwindigkeit startet beim Abschiessen des Balls bei 9.81 m/s und geht nach 1 Sekunde auf 0 m/s und wird anschliessend negativ. Das bedeutet, dass der Ball die Richtung geändert hat. Er kommt wieder zurück!

S-t-Diagramm: Hier sieht man schön, wie der Ball hochsteigt bis auf 4.905 m und anschliessend wieder runter kommt. Beachten Sie, der Ball macht keinen Bogen, wie das Diagramm vermuten lässt, sondern der Ball geht gerade nach oben und kommt genauso gerade wieder herunter! Der Bogen entsteht dadurch, weil die Zeitachse nach rechts verläuft und diese Achse nicht die x-Achse ist.

Aufgabe 3W: Die jeweils andere Komponente muss null sein, also beim freien Fall die x-Komponente, weil der freie Fall nur eine senkrechte Bewegung entlang der y-Achse macht. In der x-Richtung (horizontale Richtung) soll sich der fallende Körper nicht bewegen, sonst wäre es kein freier Fall mehr!
Ähnlich verhält es sich bei der horizontalen Bewegung. Hier ändert sich nur die x-Komponente und die y-Komponente bleibt immer auf 0.

Zusammenfassung der kinematischen Bewegungen

Die gleichförmige Bewegung ${\bf (v=const., a = 0)}$ :

Beachten Sie, dass Sie die Formel $s = v \cdot t$ nur hier bei dieser Bewegung verwenden dürfen. Nur dann, wenn die Geschwindigkeit nicht ändert!

Die gleichmässig beschleunigte Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit ${\bf ( v \neq const., a > 0, v_A =0)}$ :

Achtung: Die Formel $s = v \cdot t$ dürfen Sie hier NICHT gebrauchen! (siehe letzte Formel im Bild oben), sondern Sie müssen die Formel $s = \frac{v \cdot t}{2}$ verwenden.

Die gleichmässig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit ${\bf ( v \neq const., a > 0, v_A \neq 0)}$ :

Die gleichmässig verzögerte Bewegung oder auch Abbremsen genannt ${\bf ( v \neq const., a < 0, v_A \neq 0)}$ :

Beachten Sie, dass der Wert von a negativ ist, jedoch wird beim Einsetzen von a in die Formeln, a als positiver Wert verwendet. Die Formeln berücksichtigen bereits, dass a negativ ist!

Zusammenstellung der Formeln für die Würfe: