IDAF Statik: Vektorrechnung

Dieses Kapitel behandelt die Darstellung von Kräften als Vektoren und zeigt auf, wie durch vektorielle Addition einerseits Gleichgewichtskräfte und andererseits auch resultierende Kräfte berechnet werden können.

Idealerweise haben Sie sich bereits die mathematischen Grundlagen zu den Vektoren erarbeitet. Sie wissen also, wie Vektoren in einer Ebene dargestellt werden und wie zwei und mehr Vektoren addiert werden. Ausserdem kennen Sie auch die Darstellung von Vektoren in Polarkoordinaten.

Gegeben ist folgende Situation: Ein Strompfosten muss 3 Leitungen tragen, welche mit unterschiedlichen Kräften an dem Pfosten ziehen (siehe Abbildung). Damit der Pfosten statisch im Gleichgewicht ist, muss noch eine weitere Kraft, die Gleichgewichtskraft $F_{GW}$ , am Pfosten angreifen. Wie gross muss diese Gleichgewichtskraft sein und in welche Richtung bezüglich der Kraft $F_1$ zeigt sie?

Lösen Sie diese Aufgabe indem Sie die Kräfte in ihre x- und y-Komponenten zerlegen!

Das Vorgehen um diese Aufgabe zu lösen ist in 4 Schritte unterteilt. Versuchen Sie die einzelnen Schritte selbständig zu lösen. Wenn Sie nicht wissen wie und was Sie machen müssen, können Sie auf den entsprechenden blauen Link klicken um Hilfe zu erhalten.

Zerlegen der Kräfte in ihre x- und y-Komponenten (Lösung)
Bilden der Vektorsumme in x- und in y-Richtung (Lösung)
Berechnen der resultierenden Kraft $F_{Res}$ aus den beiden Vektorsummen (Lösung)
Darstellung in Polarkoordinaten (Lösung)
Die Gleichgewichtskraft (Lösung)
Weitere Aufgaben (PDF-Version)

1. Zerlegen der Kräfte

Die Aufgabe soll so gelöst werden, dass die Kräfte in ihre x- und y- Komponenten zerlegt werden. Man spricht dann auch von der vektoriellen Darstellung der Kräfte.

Die Abbildung zeigt, wie die Kräfte graphisch in ihre x- und y-Komponenten zerlegt werden. Die Kraft $F_3$ hat nur eine y-Komponente und keine x-Komponente und wird deshalb nicht besonders hervorgehoben.

Allgemein berechnen sich die Komponenten wie folgt:

$F_x = F\cdot\cos(\alpha)$
$F_y = F\cdot\sin(\alpha)$

Dabei muss beachtet werden, dass der Winkel $\alpha$ jeweils von der positiven x-Achse aus im Gegenuhrzeigersinn gemessen wird! Das bedeutet z.B., dass der Winkel der Kraft $F_2$ 150° beträgt, was sich aus den 45° von der x-Achse bis zu $F_1$ und den 105° zwischen $F_1$ und $F_2$ ergibt.

Angewandt auf die 3 Kräfte:

$F_{1,x} = \cos(45°)\cdot F_1$
$F_{1,y} = \sin(45°)\cdot F_1$

$\vec{F}_{1}=\begin{pmatrix} \cos(45°)\cdot F_1 \\ \sin(45°)\cdot F_1 \end{pmatrix}$

$F_{2,x} = \cos(150°)\cdot F_2$
$F_{2,y} = \sin(150°)\cdot F_2$

$\vec{F}_{2}=\begin{pmatrix} \cos(150°)\cdot F_2 \\ \sin(150°)\cdot F_2 \end{pmatrix}$

$F_{3,x} = \cos(-90°)\cdot F_3$
$F_{3,y} = \sin(-90°)\cdot F_3$

$\vec{F}_{3}=\begin{pmatrix} 0 \\ \sin(-90°)\cdot F_3 \end{pmatrix}$

Hier wurde für die Kraft $F_3$ explizit beide Komponenten hingeschrieben, obwohl schon graphisch zu sehen ist, dass es keine x-Komponente gibt oder besser gesagt, dass diese x-Komponente 0 ist. Das ergibt sich dann auch, wenn die Komponente berechnet wird: $cos(-90°) = 0$ und somit ist $F_{3,x} = 0$ .

Sicherlich haben Sie bemerkt, dass beim Winkel von $F_3$ ein negativer Winkel steht: -90°. Dies ist ebenfalls möglich, da 360°-90° = 270° ergibt und den gleichen Wert für den Sinus resp. Cosinus liefert.

2. Bilden der Vektorsumme

Nachdem die Kräfte in ihre Komponenten zerlegt sind, kann jetzt die Summe der Vektoren gebildet werden. Diese Vektorsumme entspricht der resultierenden Kraft $F_{Res}$ , die physikalisch gesehen die genau gleiche Wirkung auf den Strompfosten hat, wie die drei Kräfte $F_1$ , $F_2$ und $F_3$ zusammen. Formal ergibt sich die resultierende Kraft $F_{Res}$ wie folgt:

$\vec{F}_{Res}=\vec{F}_1+\vec{F}_2+\vec{F}_3$

In Komponentenschreibweise:

$\begin{pmatrix} F_{Res,x} \\ F_{Res,y} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(45°)\cdot F_1 \\ \sin(45°)\cdot F_1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} \cos(150°)\cdot F_2 \\ \sin(150°)\cdot F_2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ \sin(-90°)\cdot F_3 \end{pmatrix}$

3. Berechnung der resultierenden Kraft $F_{Res}$

Setzen wir jetzt noch die Beträge der gegebenen Kräfte ein so ergibt sich:

$\begin{pmatrix} F_{Res,x} \\ F_{Res,y} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 282.843 N \\ 282.843 N\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -519.615 N \\ 300 N \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ -450 \end{pmatrix}$

Werden jeweils die oberen Zeilen und die unteren Zeilen der Vektoren zusammengezählt, erhält man $F_ {Res}$ als Vektor:

$\vec{F}_{Res}=\begin{pmatrix} -236.772 N \\ 132.843 N\end{pmatrix}$

Es ist durchaus möglich, dass die Vektorsumme der Kräfte null ergibt. Das wäre ideal, weil das bedeuten würde, dass alle Kräfte, die am Strompfosten angreifen, sich aufheben und somit wäre $F_{Res}=0$ . Aber das wäre rein zufällig und kann nicht als Normalfall betrachtet werden.
Damit der Pfosten aber trotz der vorhandenen resultierenden Kraft stehen bleibt, muss eine weitere Kraft wirken, die genau gleich gross ist, wie die Summenkraft $F_{Res}$ aber in die Gegenrichtung zeigt. Diese Kraft wird als Gleichgewichtskraft bezeichnet und könnte zum Beispiel mittels eines Drahtes, der gegen den Boden gespannt wird, bewerkstelligt werden.

4. Darstellung in Polarkoordinaten

Häufig ist es anschaulicher, wenn $F_{Res}$ nicht als Vektor mit x- und y-Komponenten vorliegt, sondern als Pfeil, der in eine bestimmte Richtung zeigt. Eine solche Darstellung wird als Vektor in Polarkoordinaten bezeichnet. Die Länge des Pfeils entspricht dabei dem Betrag des Vektors und die Richtung ergibt sich aus dem Tangens des Verhältnisses von y-Komponente zur x-Komponente.

In der Abbildung sind einerseits die Komponenten von $F_{Res}$ und andererseits die Pfeildarstellung von $F_{Res}$ gegeben. Die Pfeillänge ergibt sich aus den Komponenten durch Anwenden des Satzes von Pythagoras:

$F_{Res}=\sqrt{F_{Res,x}^2+F_{Res,y}^2}=271,49$ N

Der Richtungswinkel $\delta$ soll gemäss Aufgabenstellung gegenüber der Kraft $F_1$ angegeben werden. Dieser Winkel kann nicht direkt berechnet werden, sondern es muss zuerst der Winkel $\delta'$ bestimmt werden, der zur normalen Polarkoordinatendarstellung gehört.

(1) $\begin{equation*}\tan(\delta') = \frac{F_{Res,y}}{F_{Res,x}}= \frac{132.843 N}{236.772 N}=0.561\notag\end{equation*}$

Den gesuchten Winkel $\delta$ ergibt sich aus:

(2) $\begin{equation*}\begin{aligned}\delta &= 180°- 45°- \delta' \\&= 135°-arctan(0.561)\\ &= 105.71° \end{aligned}\notag\end{equation*}$

5. Die Gleichgewichtskraft

Schlussendlich ist die Gleichgewichtskraft $F_{GW}$ gesucht. Diese ist betragsmässig genau gleich gross, wie die resultierende Kraft $F_{Res}$ . Sie zeigt aber in die entgegengesetzte Richtung, was bedeutet, dass wir 180° addieren müssen:

(3) $\begin{equation*}\begin{aligned}\delta'' &= \delta + 180° \\&= 105.71°+180° \\ &= 285.71° \,\text{oder auch:}\, -74.29° \end{aligned}\notag\end{equation*}$

6. Weitere Aufgaben

Sie finden hier die weiteren prüfungsrelevanten Aufgaben als PDF:

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