Hydro-/Aerostatik Aufgaben

Hilfe zum Versuch

Auf der Seite 148 im Skript finden Sie die rechts abgebildete Tabelle und eine Graphik. In der Tabelle sind bereits die ersten drei Werte aus dem Film übernommen worden und in der Graphik eingezeichnet.

Sie müssen aus dem Film jetzt noch die fehlenden Werte bei 20 cm und 30 cm ablesen und anschliessend in der Graphik einzeichnen.

Lösungen zu den Aufgaben

H1: Berechnung des absoluten Drucks:

$p = p_{amb} + p_{Kolben} + p_{S,Oel} + p_{S,Wasser}$

Der Umgebungsdruck mit einem Wert von 1013 mbar wird auch als $p_{amb}$ (amb = ambient = umgebend) bezeichnet.

${\bf p} = p_{amb} + \frac{F_1}{A_{Kolben}} + \rho_{Oel} \cdot g \cdot h_1 + \rho_{Wasser} \cdot g \cdot h_2$

${\bf p} = 101'300 \, \text{Pa} + \frac{100 \, \text{N}}{0.0078 \, \text{m}^2} + 780 \, \text{kg/m}^3 \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 \cdot 0.5 \, \text{m} + 998 \, \text{kg/m}^3 \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 \cdot 0.6 \, \text{m}$

${\bf p} = 101'300 \, \text{Pa} + 12'732 \, \text{Pa} + 3'826 \, \text{Pa} + 5'874 \, \text{Pa} = 123'732 \, \text{Pa} = 1.237 \, \text{bar} = {\bf 1'237 \, \text{mbar}}$

Die Graphik zeigt den Verlauf des Drucks entlang der Mittelachse des Gefässes, beginnend da wo der Kolben auf die Flüssigkeit drückt. Der Umgebungsdruck $p_{amb}$ ist bereits vorhanden, also auch zuoberst. Danach folgt der Druck, welcher durch die Kraft $F$ erzeugt wird, gefolgt von den beiden Schweredrucken $p_{S,Oel}$ und $p_{S,H20}$ . Der gesamte Druck wird absoluter Druck $p_{abs}$ genannt.

H2: Die Auftriebskraft beträgt:

${\bf F_A} = \rho_{Wasser} \cdot V_{Mensch} \cdot g = 0.998 \, \text{kg/dm}^3 \cdot 70 \, \text{dm}^3 \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 = {\bf 685.3 \, \text{N}}$

$\frac{F_A}{F_G} = \frac{ \rho_W \cdot V_M \cdot g}{ m \cdot g} = \frac{685.3 \, N}{784.8 \, N} = 0.873 \quad \hat{=} \quad {\bf 87.3 \, \%}$

Das heisst, dass die Auftriebskraft fast so gross ist, wie die Gewichtskraft selbst und man sich im Wasser so entsprechend „leichter“ fühlt. Im Toten Meer gilt dann sogar:

${\bf F_A} = \rho_{Totes Meer} \cdot V_{Mensch} \cdot g = 1.24 \, \text{kg/dm}^3 \cdot 70 \, \text{dm}^3 \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 = {\bf 851.5 \, \text{N}} \quad$

${\bf \frac{F_A}{F_G}} = \frac{851.5 \, \text{N}}{784.8 \, \text{N}} = 1.085 \, \hat{=} \, {\bf 108.5 \, \%}$

Die Auftriebskraft ist grösser als die Gewichtskraft. Das heisst, dass die Person auf dem Wasser schwimmt. Um Abzutauchen muss man sich bereits anstrengen und gegen die Auftriebskraft „ankämpfen“.

A1: Herleitung der vereinfachten Gasgleichung:

Die vereinfachte Form erhalten wir dadurch, dass die Anzahl der Teilchen und damit $n$ sich nicht ändern soll. Gleichzeitig teilen wird die universelle Gasgleichung durch die Temperatur $T$ . Wir erhalten:

$\frac{p \cdot V}{T} = n \cdot R \quad \text{und mit} \, n \cdot R =\, \text{konstant} \Rightarrow \frac{p \cdot V}{T} = \text{const.}$

Wenn wir jetzt 2 unterschiedliche Zustände 1 und 2 betrachten, dann ergibt sich folgende Gleichung:

$\frac{p_1 \cdot V_1}{T_1} = \text{const. und } \frac{p_2 \cdot V_2}{T_2} = \text{const.}$

Da die beiden Terme den genau gleichen konstanten Betrag (const.) liefern, können sie gleichgesetzt werden und wir erhalten die für unsere Physik typische Gasgleichung in vereinfachter Form:

$\frac{p_1 \cdot V_1}{T_1} = \frac{p_2 \cdot V_2}{T_2}$